Frökenfluff

Phi i vår vardag.

Phi eller de så kallade gyllene snittet har funnits i vår matematiks historia under flera århundraden.  Det nämndes för första gången av Euklides som var en känd matematiker som levde 300år f.Kr. Han definierade det gyllene snittet som ”delning i extrem- och medelförhållande” Detta var den rätta förklaringen tills 1800-talet.  Nu har man kommit fram till en korrekt förklaring för Phi.  ”Phi är det förhållande som erhålls när en sträcka delas i en längre del A och en kortare del B, på så vis att hela sträckan A+B  förhåller sig till A som A förhåller sig till B. Kvoten till A/B är då ca 1.618.”  Phi är alltid <2 men >1.

Phi har använts av många kända män och kvinnor genom tiderna. Det gyllene snittet finns överallt i vår vardag, det är det tal som hela vår värld är uppbyggd av. Du kan hitta talet 1,618 i Da Vinci’s tavlor, de gamla grekernas byggnader och i blommors blad. Det finns runt omkring oss hela tiden, det är de som är så speciellt med både Phi och Fibonacci talen. Är det inget mer än en enkel slump? Eller finns det ett samband mellan vår natur och matematiken? Denna fråga har ställts många gånger om. Men man kan nu vara väldigt säker på att det inte är någon slump. Talen finns där för en anledning, det är enbart logiskt tänkande som ligger bakom svaren.

Man kan se att många konstnärer använde sig utav det gyllenesnittet när de målade, det gav dem rätt proportioner. En av de mest kända tavlorna i världen är uppbyggd av det gyllene snittet, tavlan ”Mona Lisa”.  Metoden fungerar så att man använder sig av en ”gyllene rektangel” det är en rektangel vars sidor förhåller sig till det gyllene snittet. Mona Lisas ansikten är inom en gyllene rektangel precis som hennes öga, näsa och andra delar av ansiktet. Det är på det sättet man använder sig av Phi i målningar. Man ritar inom dessa olika rektanglar som en sorts mall. Enbart för att det är trevligt att vila ögat mot.

Många konstnärer använde sig av det här för det var en behaglig bild för ögat och den tillförde harmoni till målningen.  Som jag sa tidigare är Mona lisas ansikte uppbyggt av gyllene trianglar, detta kanske är anledningen till mystiken bakom hennes leende. Har Da Vinci använt sig av den gyllene rektangeln och skapat en synvilla som ger tavlan dess speciella utseende?

Det finns många fler exempel på det gyllene snittet i vår vardag. De antika grekerna har använt sig av både ”gyllene snittet ”och den ”gyllene rektangeln” för flera hundra år sedan. Den finns överallt i deras byggnader, målningar och stenskulpturer. Grekernas byggnader är uppbyggda av ett flertal rektanglar och av en ”slump” är det samma mått som den gyllene rektangeln, eller? Detta är ett till bevis på att Phi har varit med oss sedan urminnes tider.

Tror du fortfarande på att det är en slump att så många föremål har ett samband med Phi? Eller kan det vara så att det är naturen och matematiken som är i balans. De här talen finns runt omkring dig vart du än ser dig om kring. Det finns faktiskt en anledning till varför din dator, mobil och kredit kort har de mått de har!

Leonardo Fibonacci föddes i Pisa 1170 och räknas idag som en av världens största matematiker. Fibonacci pressenterade i sitt verk Liber Abaci, som ungefär betyder ”Boken om räknekonsten”, de arabiska siffrorna (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0) och positionssystemet i Europa. Boken innehåller också en talföljd som kallas Fibonaccitalen där när man adderar ett tal med det föregående i serien får nästa tal. (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025... ) 1 plus 1 blir 2, 2 plus 1 blir 3, 3 plus 2 blir 5 osv.

Fibonaccitalföljden hänger ihop med det sk gyllene snittet (fi Φ) genom att när man delar ett tal i talföljden med det föregående närmar man sig Φ desto högre tal man väljer. Ex. 75025/46368≈1,61803399.

Det gyllene snittet, Φ, är ett irrationellt tal som tex Pi och √2. Definitionen på snittet är ”det förhållande som erhålls när en sträcka delas i en längre del a och en kortare del b på så vis att hela sträckan a+b förhåller sig till a som a förhåller sig till b” (Wikipedia 2012). Snittet går att skriva som (1+√5)/2≈1,6180339887 vilket man ser är nära det man får om man delar två högre, på varandra följande, Fibonaccital.

Så hur förekommer Fibonaccital och det gyllene snittet i vardagen och i naturen?

För den grekiske kärleksgudinnan Afrodite som har beskrivits som världens vackraste kvinna ansågs midjans placering i förhållande till hela kroppslängden följa det gyllene snittet. Det finns också många som tror att flera kända byggnader och konst som till exempel pyramiderna och målningen på Mona Lisa ska vara tillverkade med gyllene snittets proportioner. Formen på ett vanligt kreditkort har ett förhållande mellan sidorna som bara avviker med mindre än 2% från det gyllene snittet. Ingen vet om skaparna har haft det gyllene snittet i åtanke eller om dem bara försökt att få sitt verka att se så bra ut som möjligt eller att vara så funktionellt som möjligt, och att man då råkat komma nära gyllene snittet.

Många växter, till exempel tallen, rosen och solrosen använder sig av det gyllene snittet för att placera sina blad si att det blir så stor spridning på dem som möjligt så att de kan komma åt så mycket solljus som möjligt utan att blockera varandra. Bladen växer alltså ut i spiraler med 137,5 graders vinkel till varandra, vilket motsvarar den gyllene vinkeln. Men det är inget som växten styr över själv och det är egentligen inte konstigt alls att växten just använder sig av det gyllene snittet. Det beror på att det är så växternas växthormoner som styr bladens tillväxt fungerar. Mer om detta kan ni säkert läsa om på något annat inlägg på bloggen.

Det gyllene snittet

Det gyllene snittet hänger ihop med fibonaccitalen. Delar man två följande fibonaccital med varandra kommer man få ett värde som är mer än ett men mindre än två, det kommer vara ett värde som är nära det gyllene snittet som är 1,618…. även kallat fi. Det är alltså en proportion ett förhållande.

Man kan få fram det gyllene snittet på andra sätt också. Delar du en människas längd mellan huvudet och fötterna med längden mellan navaln och fötterna kommer du få kvoten 1.618, du hittar liknande resultat i förhållandet mellan huvudets längd och längden mellan ögonen och hakan, och på många andra ställen. Detta har även hittats i förhållandet mellan tjockleken på träds grenar och många andra sammanhang i naturen. Med det gyllene snittet kan också gyllene spiraler bildas. Som Klara och Christoffer har nämnt så har dessa spiraler hittats hos många växter och frukter. Men de gyllene spiralerna kan på många andra ställen också; i getens hon, i mineralkristaller, tromber och fingeravtryck. Man har hittat det i små principer som DNA spiraler, till stora fenomen som galaxer i yttre rymden. Det kan hittas överallt, det finns tusentals exempel. Det återkommer gång på gång.

Så det gyllene snittet förekommer överallt i naturen, hos människor, växter och i rymden. Varför vet man inte riktigt. Men vad som gör det gyllene snittet ännu mer intressant är att det återkommer i det som vi skapar också, så som målningar och arkitektur. Många gånger omedvetet, och hur kan vi använda oss av det gång på gång utan att ens tänka på det? Jo det är för att vi tycker det är vackert och harmoniskt. De rätta proportionerna är vad som gör våra skapelser vackra. Det gäller även för människor. De människor som de allra flesta anser är vackra är dem som har de längdförhållandena som överensstämmer så mycket som möjligt med fi, på det sättet jag nämnde tidigare. Detta har konstnärer som t.ex. da Vinci utnyttjat när de målar portträtt vilket resulterar i harmoniska tavlor med vackra människor i. Det finns många fler exempel på när vi utnyttjat denna vetskap. Om du delar den längre sidan på den svenska flaggan med den kortare sidan kommer du få en kvot nära fi. Det gyllene snittet hittas också i FN:s högkvarter som är byggt med denna vetskap. Många av pyramiderna i Egypten och templen i Grekland, som vi än i dag tycker är vackra och spektakulära, är byggda med längdförhållanden som överrensstämmer med det gyllne snittet. Visste dom om detta redan då? Hade dem mätt ut och räknat så att det skulle bli längdförhållandet 1,618? Eller hade dom bara med skicklighet och övning kommit fram till en vacker struktur, helt omedvetet om detta samband?

Att vi anser att fi gör saker vackra och harmoniska är inte så konstigt egentligen. Det har vi gjort i alla tider. Vi stöter på det överallt i de universum som vi kommer ifrån. Det är något som känns naturligt och rätt. Men vad som gör att moder natur har gjort på detta sätt och att organismer och fenomen som uppkommit helt oberoende av varandra har utvecklats på detta sätt, är den riktiga gåtan. Har det med DNA att göra? Fyller det någon okänd funktion? Är det en helt osannolik slump? Kan det irrationella talet fi, ha någon som helst rationell förklaring….?




 

Lucas talen

Som tidigare inlägg nämner är Fibonacci talen och det gyllene snittet något som förekommer nästan överallt. Allt ifrån växter till djur, människor, tavlor, de egyptiska pyramiderna och något så modernt som kreditkort. Dessa matematiska beräkningar finns över hela världen och de omger oss var vi än är. Men som om det inte skulle vara nog med detta så finns det mer. De allra flesta har hört talas om Fibonacci talen men har ni hört om de lite mindre kända Lucas talen?

Edouard Lucas levde under mitten av 1800-talet och han var mannen som namngav Fibonacci talen. Han studerade även en annan serie av tal som på många sätt liknar fibonacci talen. Han kallade dem Lucas talen, efter sig själv. Lucas talen liknar fibonnacci talen på många sätt och den stora skillnaden är att talföljden är annorlunda. Skillnaden får man genom att istället för att börja med talen 1 och 0, som i fibonacci serien, så startade Lucas med talen 2 och 1. Precis som i Fibonaccis talföljd så får man ut nästa tal genom att lägga ihop de två föregående. Detta resulterar i en talföljd som ser ut så här 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29…  Det finns även andra likheter till fibonaccis talföljd så som att ɸ är 1.618. Men vad är det då som är så speciellt med Lucas talen kanske ni undrar, vad skiljer sig ifrån alla andra matte som t.ex pq formler? Precis som fibonacci talen och det gyllene snittet är Lucas talen något som ofta förekommer i naturen och något som omger oss i vardagen. Till exempel så kan vi hitta talen i kottars spiralmönster. Fibonacci talen är de kända av dessa talserier och även det vanliga, men det verkar som att det finns ett förhållande mellan de båda och hur de hittas i naturen. Det visar sig nämligen att i de växter där man inte finner fibonacci tal så finner man istället lucas talen. Jag tror att alla dessa matte fenomenen har blivit så pass stora just på grund utav att de är ännu olösta mysterier. Det finns många olika teorier och funderingar över varför dessa tal fortsätter att uppkomma på de mest oväntade platser. Men mysteriet förblir än idag olöst, efter århundraden av forskning kring den matematik som ständigt omger oss i vår vardag. Frågan är om vi någonsin kommer lösa matematikens mysterier och om vi lyckas vilka hemligheter kommer då att avslöjas…

Gyllene snittet

 Gyllene snittet har genom tiderna används för att hitta en norm hos mått och proportioner inom olika slags konst, som t.ex. måleri, arkitektur och bildhuggarkonst. Matematiker i det gamla Grekland var intresserade av gyllene snittet, eftersom värdet av det ständigt dök upp i olika geometriska kroppar och figurer. Gyllene snittet var redan känt av Pythagoras, och upptäckten av förhållandet brukar man säga gjordes av honom och hans följeslagare. Den första människan som exakt beskrev det gyllene snittet var Euklides. I hans verk Elementa beskriver han uppdelningen av en sträcka i gyllene snittets proportioner, som han kallade delning i extrem- och medelförhållande. Denna betäckning användes fram till mitten av 1800 – talet, och namnet ”det gyllene snittet” användes för första gången 1835 i en lärobok av Martin Ohm.

 

La Divina Proportione av Luca Pacioli var det mest inflytelserika verket kring det gyllene snittets estetiska värde. Boken behandlade förhållandets betydelse för ideala proportioner inom olika konstnärliga områden. Vissa renässansteoretiker har gett gyllene snittet nästan magisk betydelse, och inom måleri bör bildytan delas upp enligt formeln 2:3, 3:5, 5:8, 8:13 osv. Ett jämviktsförhållande och harmoni uppstår i bilden när händelserna i bilden sker vid punkterna där gyllene snittets linjer korsar varandra. Leonardo Da Vinci var en förespråkare för det gyllene snittet, vilket visas i hans egna målningar. Mona Lisa är ett bra exempel, där det har föreslagits att hennes ansikte skulle vara målat med hjälp av dessa proportioner. 

Många matematiker och filosofer har tyckt sig hitta det gyllene snittets proportioner i olika former i naturen. Den tyske matematikern Adolf Zeising ansåg att naveln delade kroppslängden i rätt förhållande, eftersom avståndet upp till knät och avståndet upp till naveln hade samma proportion, så att avstånden förhöll sig till varandra. Det är ju dock svårt att påvisa gyllene snittets proportioner på detta sätt, då stora variationer sker mellan olika individer. Som Klara nämnde i sitt inlägg så hittas Fibonacci talen, men också det gyllene snittet, i bladens placering hos en växt. Ofta växer ett nytt blad ut med en vinkel som är 137,5° från föregående blad, vilket kallas den gyllene vinkeln. Detta ger bladen en optimal spridning, så att varje blad hamnar på det ställe där det skuggas minst av andra blad, så att växten kan ta upp så mycket energi som möjligt.

 "Skärmen på din dator, tidningen du läser, ditt kreditkort, kronbladen på blomman, löven på det där trädet, byggnaden tvärs över gatan - allt styrs av en princip, ett förhållande, ett harmoniskt värde. Universum tycks viska en kod till oss i varje hörn av naturen, en unik och harmoniskt estetisk kod: det gudomliga talet, det gyllene snittet" (http://www.epochtimes.se/articles/2007/09/24/13172.html)

 Precis som citatet ovan säger så finns det gyllene snittet överallt i naturen och i samhället, vare sig man vill tro på det eller inte. Många skulle säkert säga att förhållandena bara är en slump, och att bladens placering bara styrs av gener och proteiner. Jag har i alla fall lärt mig en del om konstens uppkomst, och förklaringen till varför vi tycker vissa saker är extra vackra. Den harmoni som gyllene snittet skapar tilltalar i alla fall mig, och jag tycker det är extra vackert när matematik kan förklara något så vardagligt som längd- och breddförhållandet hos ett kreditkort!

 

Fibonaccitalen

Leonard av Pisa eller Leonard Fibonacci som han också kallas var en mycket stor matematiker från Italien. Leonard växte inte upp i Italien utan i Algeriet, det var även där och på sina resor i Medelhavet som han lärde sig om de arabiska siffrorna och positionssystemet. När han var 32 år gammal skrev han verket ”Liber Abaci” detta verk tog just upp positionssystemet. Verket tar upp de nio indiska siffror som man använder för att skriva alla tal som finns, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.Detta var ett stort verk i matematikens historia men det verket som gjort honom mest känd är det verket som är uppkallat efter honom själv, fibonaccitalen. Den talföljden bygger på att varje tal är summan av de två föregående. 0 och 1 är det första talen i serien, alltså 0, 1, 1, 2, 3, 5 osv. Om ”Liber Abaci” var ett stort verk var detta enormt. Denna upptäckt var sensationell men man förstod inte dess storhet förrän man började hitta fibonaccitalen i naturen. Talen förekommer i många spiralstrukturer t.ex. kottar, blommor och även vissa frukter. Sättet att hitta fibonaccitalen är att räkna spiralerna, antalet spiraler motsols och antalet spiraler medsols ska bli två efterföljande tal på tallinjen. Detta stämmer ofta och man blir lika överaskade varje gång man får det bevisat för sig, jag tror det är just det som gjort att dessa tal fortfarande betyder så mycket i dagens matematik. Självklart kan man använda dessa tal för att lösa problem men jag tror inte det är just därför så många känner till dessa tal nej det är därför det fortfarande är ett mysterium, ingen vet säkert varför dessa tal förekommer i naturen eller hur det kommer sig att det finns på så många helt olika plattser. Igenom historien har förmodligen vetenskapen och religionen krockat i även denna fråga, kyrkan har säkert hävdat att det är guds heliga skapelsetal eller något liknande, alltså de tal han använt för att skapa jorden. Det är därför det återfinns på så många plattser i naturen, och vad kunde Leonard svara på detta? Förmodligen hade han inget riktigt svar men han hade förmodligen många matematiska användningsområden för sina tal och det kanske räckte för honom vem vet. Men jag tror att det är framtiden för dessa tal, vem ska lösa fibbonaccitalens gåta? Vem ska ta reda på varför de återkommer jämt och ständigt? Vem vet det kanske blir du.

Som Christoffer skrev tidigare så är positionen av växternas blad uppkomna efter det gyllenesnittet vilket ger en vinkel på 137,5 grader och det är även den här vinkeln som skapar de så kallade spiralerna. Den här vinkeln gör att inget blad skuggas av ett annat och alla blad kan då få så mycket solljus som de behöver, man kan alltså säga att den här vinkeln är en förutsättning för att bladen ska få tillräckligt med solljus för att de ska kunna växa och utföra fotosyntesen som i sin tur alla organismer är beroende av.

Men det finns dock undantag, på en del växter kan man se att de inte alls växer i en vinkel på 137,5 grader utan de växer mitt emot varandra och skapar en 180 graders vinkel eller en 100 graders vinkel. Är de här bara undantag som man bör strunta i eller har de en anledning till att de uppkommer? Finns det något mer anledning till varför växterna bildar spiraler i en viss vinkel förutom för att kunna få så mycket solljus som möjligt? En anledning som är gemensam för alla? På toppen av alla växter finns det en knopp även kallad meristemet och det är här nya blad bildas, ju nyare bladen är desto närmare meristemet är dem och ju äldre bladen är desto längre bort från meristemet är de. Det här resulterar i när löven växer och växten blir äldre trycks de äldre löven allt längre ifrån knoppen och ger plats till nya, förutom detta trycks även löven bort från varandra. Det är på det här sättet, när löven trycks bort från knoppen och från varandra som vinkeln mellan löven bildas som i sin tur ger upphov till fibonaccital spiraler.

Anledningen till att löven uppför sig såhär beror på ett tillväxthormon, löven vill växa där det finns som mest tillväxthormon och ”rör” sig därför åt det hållet. Samtidigt som det här sker med de äldre löven, bildas det nya löv vid meristemet och de kommer växa där det finns minst med löv eftersom det är här som det finns mest tillväxthormon. Den här processen bildar alltså ett mönster, nya löv flyttas och växer där det finns mest tillväxthormon och resten som sker efter händer automatiskt. Det här förklarar även de ”undantag” med växter som växer 180 eller 100 graders vinkel, om något annorlunda inträffar i början skapas ett nytt men stabilt mönster vilket gör att de här olika vinklarna kan uppkomma. Så vad olika växer har gemensamt är inte de fibonaccital som de visar genom spiraler utan det är hur de växer.

Fibonaccitalen uppkommer alltså av en så enkel anledning som ett tillväxthormon men det har en mycket stor betydelse för att växterna ska kunna växa och utföra sin fotosyntes som i sin tur alla organismer och även vi människor är beroende av.

Fibonacci är en av de mest kända matematikerna i historien. Han kom på det som vi idag kallar fibonaccitalen. Det är en talföljd som finns i de flesta växter och djur. I växter så är det en spiral som man ser på till exempel en kottes utsida (se bilden). Det finns åtta stycken spiraler som täcker alla ”utskotten” på kotten....

 

De talen som är med i fibonaccis tal följd är 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811 osv. Om dom här talen finns med så är den saken uppbyggd av talföljden.

Fibonacci upptäckte den här principen när han undersökte kaniners fortplantning på ett begränsat område. Dom födde alltså är 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418 ungar i taget (kanske inte så många som på slutet men…).

Det här hänger ihop med det gyllene snittet som är en annan princip som också används i naturen. Men även i gamla byggnader. För förut så användes det som ett skönhets ideal på hus och människor. Växternas blad är uppbyggda av det gyllenesnittet för att det är den mest effektiva lösningen för att en blomma till exempel ska få så mycket sol ljus på sina blad som möjligt. Då sätter den sina blad med en vinkel av 137,5 graders skillnad (se bilden nedanför).

 

Här är tanken att vi tillsammans ska utforska delar av matematikhistorien, och se hur och var i verkligheten vi stöter på olika typer av matematik.
Vi börjar med att fundera kring Fibonaccital och hur de upptäder i naturen.
Man kan börja genom att titta på följanded länkar:


 


'